الأرقام هي أساس الرياضيات وبحر لا نهاية له. كما تم تقسيم هذه الأعداد إلى مجموعات تتميز كل منها بسمات معينة يعرفها علماء الرياضيات باسم محدد، مثل مجموعة الأعداد العقلانية وغير المنطقية والصحيحة والحقيقية والطبيعية، وأهمها الخوارزمي، من اكتشف الصفر إذا كنت تتساءل، ما هي مجموعة الأعداد النسبية وغير المنطقية؟ في هذه المقالة سوف تجد كل شيء عن الأعداد النسبية.

الأعداد العقلانية وغير العقلانية

تعريف الرقم النسبي: ما هو الرقم النسبي؟ يمكن أن يسمى الرقم عددًا كسريًا إذا كان من الممكن كتابته على شكل كسر أ/ب (البسط والمقام)، ولهذا السبب يطلق عليهم أيضًا أرقام كسرية.

  • حيث a و b أعداد صحيحة.
  • ب ≠ 0 لأن المقام لا يمكن أن يكون صفرًا، وبالتالي يصبح الكسر غير محدد.

يمكن أن تكون الأعداد النسبية عددًا مختلطًا أو عددًا عشريًا أو كسرًا، بشرط أن يكون الكسر محدودًا أو دوريًا إذا لم يكن محدودًا.

تعريف العدد غير النسبي: هو العدد الذي يمكن كتابته على الصورة a/b (البسط والمقام)، لكن a وb ليسا عددين صحيحين.

يمكن أن تحتوي الأرقام غير النسبية على جذور تربيعية لمربع غير كامل، على سبيل المثال 5√ يعطي…2.2360679، أو أرقام عشرية لا نهائية وغير دورية مثل…0.86885، أو قيمة π تعطي…3.141592.

أمثلة على الأعداد النسبية

1- الأعداد النسبية الصحيحة

هل كل عدد نسبي عدد صحيح ولماذا؟ لا، ليس كل عدد نسبي هو عدد صحيح، ولكن كل عدد صحيح هو عدد نسبي. العدد الصحيح هو مجموعة الأعداد الموجبة والسالبة، بما في ذلك الصفر. ويمكن أيضًا تمثيله على خط الأعداد الذي يحتوي على صفر في المنتصف، والأرقام الموجبة على يمين الصفر، والأرقام السالبة على اليسار. في حالة الأعداد الصحيحة، يكون العدد الصحيح في البسط، لكن المقام غير مرئي. نكتبها مساوية لواحد، لأن كل عدد ليس له مقام، ومقامه واحد. لذلك يمكن كتابته على صورة كسر أ/ب، لذلك نسميه عددًا نسبيًا.

مثال 1: هل 7 عدد نسبي؟ و لماذا؟

الرقم 7 هو عدد نسبي لأنه عدد صحيح يمكن كتابته على صورة كسر، حيث تكتب 7- في البسط ومقامه 1، مما يجعل نفس الرقم 7 – » 1 / 7 – .

مثال 2: هل 8 عدد نسبي؟ و لماذا؟

الرقم 8 هو عدد نسبي لأنه عدد صحيح يمكن كتابته على صورة كسر بسطه 8 ومقامه 1، ويعطي نفس قيمة 8 » 1/8.

مثال 3: هل 0 رقم نسبي؟ و لماذا؟

الرقم 0 هو رقم نسبي لأنه عدد صحيح يمكن كتابته على شكل كسر، حيث يكون 0 في بسط الكسر والمقام هو 1 » 1 / 0.

2- الأعداد العشرية النسبية

ما هو الرقم العشري؟ الرقم العشري هو رقم يحتوي على نقطة عشرية تفصل الأعداد الصحيحة عن الأجزاء العشرية. على سبيل المثال، 4.52، حيث 4 هو الجزء الكامل من الرقم العشري ويكون دائمًا على يسار العلامة العشرية، بينما 52 هو الأجزاء العشرية التي تكون دائمًا على يمين العلامة العشرية. كما ذكرنا سابقًا، نقول إن العدد أو الكسر العشري هو رقم نسبي إذا كان محدودًا أو دوريًا. وسنوضح ذلك الآن بأمثلة على الأعداد النسبية العشرية.

مثال 1: هل 2.9 عدد نسبي؟ و لماذا؟

الرقم 2.9 هو عدد نسبي لأنه يمكن كتابته على صورة كسر 1 / 2.9، وهو أيضًا نتيجة العددين الصحيحين 29 و 10، لأننا إذا ضربنا البسط في 10 والمقام في 10 نحصل على 10 / 29. وهو عدد نسبي لأنه عدد عشري منتهي.

مثال 2: هل 3.3333 عدد نسبي؟ و لماذا؟

الرقم 3.333 هو عدد نسبي لأنه يمكن كتابته على الصورة التالية: كسر مركب 3 + 3 / 1. كما يمكن تحويله إلى كسر منتظم ليصبح 3 / 10 وبالتالي يمكن كتابته على شكل بسط ومقام العددين الصحيحين 10 و 3، والمقام ليس صفرًا. وبما أن الأجزاء العشرية دورية، فإن هذا صحيح حتى لو لم تكن محدودة. وكمثال آخر… 1.232323 يتكرر بنفس النمط الدوري.

مثال 3: هل الرقم π رقم نسبي؟ و لماذا؟

الرقم π هو رقم غير نسبي. إذا كنت تتساءل لماذا الرقم Pi هو رقم غير نسبي، فذلك لأن قيمة الرقم Pi…π = 3.1415926 لا نهائية وغير دورية، لذا فهو رقم غير نسبي.

تمارين موسعة على الأعداد العقلانية وغير العقلانية

التمرين الأول: وضح هل كل من القيم التالية هي أعداد نسبية أم غير نسبية؟

3/5، 0/0، 10-، 0، 5

  • 5: عدد نسبي لأنه عدد صحيح يمكن كتابته على صورة كسر (البسط والمقام) » 1 / 5.
  • 0: عدد نسبي لأنه يمكن كتابته على شكل كسر وهو عدد صحيح » 1 / 0.
  • 10-: عدد نسبي لأنه يمكن كتابته على صورة بسط ومقام وكلاهما أعداد صحيحة » 1/10-.
  • 0/0: عدد غير نسبي، رغم أنه مكتوب على صورة كسر (البسط والمقام صحيحان)، إلا أن المقام هنا يساوي صفر وهذا غير ممكن.
  • 3/5: عدد نسبي لأنه عدد صحيح يمكن كتابته على صورة كسر.

التمرين الثاني: تصنيف هذه الأعداد إلى أعداد نسبية وغير نسبية.

2.131313 -،…3.1415927، 2.475

  • 2.475: عدد نسبي لأنه كسر عشري منتهي.
  • …3.1415927: رقم غير منطقي لأنه كسر عشري لا نهائي وغير دوري (أي أنه لا يحتوي على أرقام متكررة في نفس النمط).
  • 2.131313 -: عدد نسبي لأنه كسر عشري دوري (يتكرر فيه الرقمان 3 و 1 بنفس النمط)، رغم أنه لا نهائي.

التمرين الثالث: أي من الأعداد التالية أعداد نسبية وأيها غير نسبية؟

الجذر التربيعي لـ 3، 2/7، 1 + 5/6، 15 –

  • الجذر التربيعي للرقم 3: رقم غير نسبي لأنه الجذر التربيعي لمربع غير مكتمل وقيمته… 1.7320 عدد عشري لا نهائي.
  • 2/7: عدد نسبي لأنه يمكن كتابته على صورة كسر بسطه عدد صحيح 2 ومقامه عدد صحيح غير صفري 7.
  • 1 + 5/6: رقم نسبي لأنه يتحول إلى كسر منتظم ويصبح 11/6. ولذلك يمكن كتابته على صورة كسر بسطه 11 ومقامه ليس صفرًا. 6 أعداد صحيحة.
  • 15-: عدد نسبي، حيث أنه عدد صحيح يمكن كتابته على صورة كسر بسطه 15 – ومقامه غير الصفر 1، على صورة 1/ 15 -.

أهم الأسئلة المتداولة حول الأعداد العقلانية وغير العقلانية

1- ما هي الأعداد النسبية في الرياضيات؟

نقول إن العدد هو عدد نسبي إذا كان من الممكن كتابته على صورة كسر أ/ب (البسط والمقام)، ومن هنا يطلق عليهم أيضًا أرقام نسبية. بينما a وb عددان صحيحان وb لا يساوي صفرًا لأنه مقام الكسر.

2- ما الفرق بين العدد النسبي والعدد غير النسبي؟

يمكن كتابة العدد النسبي في صورة كسر يكون بسطه ومقامه أعدادًا صحيحة. إذا كان كاذبا، فهو رقم غير نسبي.

3- هل الصفر عدد نسبي؟

نعم، الصفر هو عدد نسبي.

4- هل 5 عدد نسبي؟

نعم، الرقم 5 يعتبر رقما نسبيا لأنه عدد صحيح يمكن كتابته على صورة كسر 1/5، إذن 5 و 1 عددان صحيحان.

5- هل كل رقم دوري هو رقم نسبي؟

نعم، أي عدد عشري متكرر يعتبر عددا نسبيا، حتى لو كان لانهائيا.

ربما نكون قد أدرجنا معلومات عن الأعداد النسبية وغير النسبية لم تكن تعرفها من قبل في كلامنا السابق مدعمة بتمارين محلولة. نأمل أن تكون قراءة هذه المقالة مفيدة لك. إذا كانت لديك أي أسئلة حول الأعداد النسبية وغير النسبية، فيرجى تركها في مربع التعليق أدناه حتى نتمكن من الإجابة عليها على الفور.