بالتأكيد في حياتك الأكاديمية تحتاج إلى معرفة كيفية حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام وفهمها بالتفصيل حتى تتمكن من اجتياز أي معادلة تصادفك في التمارين العملية. إذا كنت قد بحثت بعناية ولم تجد الشرح الكافي لهذا الموضوع، فتابع سطورنا التالية التي ستقدم لك الشرح التفصيلي مع الأمثلة والحل.
المحتويات
المعادلات التربيعية (الدرجة الثانية)
تسمى هذه المعادلات تربيعية لأن الأس الأكبر في حدودها هو من الدرجة الثانية، أي أنه أس تربيعي للرقم 2 مطبق على “المتغير” غير المعروف كـ x². هناك أكثر من طريقة لحل المعادلات التربيعية، مثل:
- طريقة التخصيم
- كيفية إكمال المربع (إكمال المربع الكامل).
- طريقة الجذر التربيعي.
- طريقة القانون العام مختلفة.
وقد شرحنا كل هذه الطرق بشكل كاف ومفصل باستخدام أمثلة واضحة في مقال سابق. ومع ذلك، هناك طريقة أخرى تسمى الحل الرسومي للمعادلات التربيعية، أي أنه يمكنك إيجاد مجموعة حل المعادلة باستخدام التمثيل البياني، ولكن هذه الطريقة قد تؤدي إلى حلول غير دقيقة. ما نريد أن نلقي نظرة عليه بمزيد من التفصيل اليوم في هذه المقالة هو حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام “المميز”.
حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام
هذه الطريقة هي الطريقة الأكثر استخدامًا على نطاق واسع، ولكنها قد تتطلب إجراءات أطول من الطرق الأخرى، ولكنها فعالة لجميع أشكال المعادلات. الصيغة العامة للمعادلة هي كما يلي:
الفأس² + ب س + ج = 0
- a، b، c هي قيم معروفة.
- أ المعامل المجهول x².
- ب معامل المجهول x.
- ج- الحد “المطلق” ثابت.
يمكننا حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام كما يلي: “صيغة القانون العام”:
س = (- ب ± √(ب² – 4أ)) / 2أ
- حيث ≠ 0، إذن المقام غير موجود.
- التعبير b² – 4ac ≥ 0، لأن هذا التعبير يقع بالكامل تحت الجذر التربيعي.
بالإضافة إلى ذلك، من خلال تطبيق هذا القانون العام، يمكنك إيجاد قيم حلول “جذور” المعادلة التي تجعل المساواة صحيحة.
تمارين على قانون حل المعادلة التربيعية العامة مع الحل
مثال 1: حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام القانون العام:
3x² – س = 6 •
الحل:
- أولا، علينا كتابة المعادلة التربيعية بالصورة العامة ax² + bx + c = 0 لحل المعادلات التربيعية حسب القانون العام. ويتم ذلك عن طريق نقل الرقم 6 إلى الطرف الآخر، مع الحرص على تغيير إشارته، ويمكن الحصول على الصورة العامة بطريقة صحيحة أخرى من خلال طرح الرقم 6 من طرفي المعادلة. أي أنه من الممكن نقل الرقم 6 مباشرة وتحقيق الشكل العام كما يلي:
3س² – س – 6 = 0
أو اطرحها من طرفي المعادلة لتحصل على الصيغة العامة:
3س² – س – 6 = 6 – 6
3س² – س – 6 = 0
- ثانياً، علينا إيجاد القيم المعروفة وفقاً للمعادلة:
أ = 3، ب = -1، ج = -6
- ثالثا، نطبق القانون العام مباشرة عن طريق استبدال قيم أ، ب، ج.
صيغة القانون العام: x = (- b ± √b² – 4ac) / 2a
س = (- (-1) ± √((-1)² – 4(3)(-6))) / 2(3)
س = (1 ± √(1 +72)) / 6 » س = (1 ± √73) / 6
- بعد ذلك نجد أن المعادلة لها حلين مختلفين:
x1 = (1 – √73) / 6
x2 = (1 + √73) / 6
وبالتالي فإن المجموعة الجذرية لـ “حلول” المعادلة هي:
س { (1 – √73) / 6, (1 + √73) / 6 }
يمكنك أيضًا تبسيط الحل تقريبًا باستخدام الآلة الحاسبة لتحديد:
x1 = (1 – √73) / 6 = – 1.25
x2 = (1 + √73) / 6 = 1.6
مثال 2: حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام
س² – 5س – 2 = 0 •
الحل:
- أولا نحدد القيم: أ = 1، ب = -5، ج = -2
- ثم نعوض مباشرة في القانون العام لحل المعادلات التربيعية:
صيغة القانون العام:
س = (- ب ± √(ب² – 4أ)) / 2أ » س = (- (-5) ± √((-5)² – 4(1)(-2))) / 2(1)
س = (5 ± √(25 + 8)) / 2(1) » س = (5 ± √33) / 2
- وبعد ذلك نحصل على الحلين:
x1 = (5 + √33) / 2
x2 = (5 – √33) / 2
يمكننا أيضًا كتابة المجموعة الجذرية لـ “حلول” المعادلة بالصيغة:
ق { (5 + √33) / 2, (5 – √33) / 2 }
مثال 3: أوجد حل المعادلة التربيعية التالية باستخدام القانون العام:
2x² – 5x + 2 = 0 •
الحل:
- أولا نحدد القيم: أ = 2، ب = -5، ج = 2
- ثم نعوضه مباشرة في القانون العام لحل المعادلات التربيعية:
س = (- ب ± √(ب² – 4أ)) / 2أ » س = (- (-5) ± √((-5)² – 4(2)(2))) / 2(2)
س = (5 ± √(25 – 16)) / 4 » س = (5 ± √9) / 4
- ثم نقوم بعزل المحاليل:
×1 = (5 + 3) / 4 = 2
س2 = (5 – 3) / 4 = 1/2
يمكننا أيضًا كتابة المجموعة الجذرية لـ “حلول” المعادلة بالشكل التالي:
ق { 2، 1/2 }
قانون التمييز في الرياضيات لحل المعادلة التربيعية
عند حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام، يمكنك معرفة عدد الحلول الممكنة للمعادلة قبل البدء في الحل عن طريق إخراج الصيغة المميزة دلتا Δ أو يمكنك قول القانون المميز لحل المعادلة التربيعية من صيغة القانون العام. القانون التمييزي هو التعبير تحت الجذر التربيعي في القانون العام:
Δ = ب² – 4أك
يمكنك استخدام القانون التمييزي لتحديد عدد الحلول الممكنة عند حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام عن طريق استبدال القيم المعروفة أ، ب، ج في القانون التمييزي. ثم نفرق بين ثلاث حالات:
- إذا كانت Δ > 0، مما يعني أن إشارة دلتا المميز موجبة، فإن للمعادلة حلين حقيقيين مختلفين:
x1 = (-ب + √Δ) / 2أ •
x2 = (- ب – √Δ) / 2أ •
- لكن إذا كانت Δ <0، مما يعني أن إشارة دلتا المميز سلبية، فمن المستحيل حل المعادلة، مما يعني أنه لا توجد حلول "جذرية" في مجموعة الأعداد الحقيقية.
- إذا كانت Δ = 0، مما يعني أن قيمة دلتا المميز تساوي صفر، فإن المعادلة لها حلان متطابقان، أي يمكننا الحديث عن حل واحد “مزدوج”، وهو:
(س = – ب / (2أ)
توضح الصورة أعلاه حالات المميز وفقًا للتمثيل البياني إذا كنت تريد رؤية الرسوم البيانية نظرًا لأنك تعرف كيفية حل المعادلات التربيعية بيانيًا.
تمارين على القانون التمييزي لحل المعادلة التربيعية مع الحل
مثال 1: أوجد حل المعادلة باستخدام قانون التمييز لحل المعادلة التربيعية:
س² – 6س = -9 •
الحل:
- أولاً نكتب المعادلة بالشكل العام: ax² + bx + c = 0
س² – 6س + 9 = 0
- نحدد القيم: أ = 1، ب = -6، ج = 9
- ثم نكتب القانون التمييزي لحل المعادلة التربيعية من القانون العام: Δ = b² – 4ac
- ثم نعوض بقيم a، b، c في قانون التمييز من المعادلة المعطاة كما يلي:
Δ = (-6)² – 4(1)(9) » Δ = 36 – 36 = 0
- نجد أن Δ = 0 مما يعني أن المعادلة لها حلان متطابقان (حل واحد مزدوج) وهما:
س = – ب / (2أ) = – (-6) / 2 (1) = + 6 / 2 = 3
إذن جذر “حل” المعادلة هو: S { 3 }
مثال 2: أوجد حل المعادلة التربيعية ذات المميز:
س² – 4س + 5 = 0 •
الحل:
أ = 1، ب = -4، ج = 5
صيغة التمييز: Δ = (-4)² – 4(1)(5) « Δ = b² – 4ac
» Δ = 16 – 20 = – 4
نجد أن Δ < 0 مما يعني أن دلتا سالبة وبالتالي يستحيل حل المعادلة لأنها ليس لها جذور حقيقية.
مثال 3: أوجد حل المعادلة التربيعية باستخدام القانون العام مع المميز:
2x² – 5x + 2 = 0 •
الحل:
- أولا نحدد القيم: أ = 2، ب = -5، ج = 2
- ثم نعوض في قانون التمييز لتحديد عدد حلول المعادلة: Δ = b² – 4ac
9 = Δ = (-5)² – 4(2)(2) « Δ = 25 – 16 «
- نجد أن Δ > 0 مما يعني أن قيمة دلتا المميز موجبة وبالتالي فإن للمعادلة حلين مختلفين وهما:
x1 = (-ب + √Δ) / 2أ •
x1 = (- (-5) + √9) / 2(2) = (5 + 3) / 4 = 2
x2 = (- ب – √Δ) / 2أ •
x2 = (- (-5) – √9) / 2(2) = (5 – 3) / 4 = 1/2
وبالتالي فإن المجموعة الجذرية لـ “حلول” المعادلة هي:
ق { 2، 1/2 }
أهم الأسئلة المتداولة حول حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام
1- ما عدد الطرق لحل المعادلات التربيعية؟
هناك طرق عديدة لحل المعادلات التربيعية، أي المعادلات التربيعية:
- حل المعادلة عن طريق التخصيم.
- أو بطريقة إكمال المربع (إكمال مربع كامل).
- أو كيفية حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام والقانون التمييزي.
- أو استخدم الجذر التربيعي إذا كان المصطلح bx مفقودًا.
- هناك أيضًا طريقة أخرى ولكنها ليست دقيقة بدرجة كافية وهي طريقة التمثيل الرسومي.
2- ما هو القانون العام لحل المعادلة؟
الصيغة العامة للقانون هي كما يلي:
س = (- ب ± √(ب² – 4أ)) / 2أ
في حين أن التعبير b² – 4ac هو القانون التمييزي في الرياضيات:
Δ = ب² – 4أك
بعد أن قدمنا لكم بخطوط واضحة ومفصلة طريقة حل المعادلات التربيعية وفق القانون العام مع مسائل محلولة وكذلك شرح القانون التمييزي لحل المعادلة التربيعية وتحديد حلولها، نأمل أن يكون هذا المقال قد أفادكم وأن يكون عندكم جربت الحل بنفسي