جدول ال فكرة
قانون مساحة وحجم الاسطوانة هو أحد القوانين الأساسية للرياضيات ويعتبر قاعدة يجب فهمها في مختلف مجالات الهندسة والتعلم عنها من جميع جوانبها ، لأن القوانين الرياضية بعيدة كل البعد عن الوجود في العديد من الصناعات ، مثل صناعة العلب البلاستيكية وعلب الأدوية ومستحضرات التجميل.
المحتويات
تعريف الاسطوانة
قبل أن نتحدث عن قانون المساحة وحجم الأسطوانة ، من الضروري البدء بتعريف الأسطوانة ، والتي تسمى في اللغة الإنجليزية “الأسطوانة” ، وهي من أشهر الهيئات الهندسية ويتم تعريفها في الرياضيات على أنها جسم ثلاثي الأبعاد ، يتكون سطحه من مجموعة من النقاط على مسافة معينة من مقطع مستقيم يسمى المحور الأسطوانة ، والتي في شكل آخر عبارة عن مستطيل يدور دورة كاملة واحدة حول أحد جوانبه ، مع محور يسمى الدوران بمحور الاسطوانة ، وتتميز الاسطوانة بدائرتين تحيطان بالمادة الصلبة على كلا الجانبين ، وكل منهما تسمى القاعدة ، والجزء المستقيم المتعامد على القاعدتين يسمى ارتفاع الاسطوانة.[1]
كيفية حساب مساحة الضلع والإسطوانة الكلية
ينقسم قانون مساحة الأسطوانة إلى جزأين ، جانبي وإجمالي ، ويحسب وفقًا للقوانين الحسابية التالية:[2]
- قانون مساحة الأسطوانة الجانبية: تسمى “مساحة السطح المنحنية” بالإنجليزية ، وهي محيط القاعدة × الارتفاع ، وهي مكتوبة بالرموز على النحو التالي: 2 × l × r × ص.
- قانون المساحة الكلية للأسطوانة: هو مجموع مساحة الدائرتين ومساحة المستطيل ، أي مجموع مساحة الجانب ومساحة قاعدتين وتحسب على النحو التالي: 2 × ل × ص × (ص + ص).
أمثلة لحساب المساحة الكلية والجانبية للأسطوانة
لتطبيق القوانين المذكورة أعلاه ، يجب تقديم بعض الأمثلة الحسابية ، بما في ذلك ما يلي:[3]
- المثال الأول: احسب المساحة الكلية لأسطوانة نصف قطرها 5 سم وارتفاعها 7 سم:
بتطبيق القانون الرياضي: 2 xlxrx (r + r).
نحن نجد:
(2 لتر × 5 × (5 + 7).
مشتمل:
باستبدال ثابت pi بـ 3.14 ، نحصل على: (2x 3.14 x 5 x (5 + 7).
إذن ، المساحة الكلية للأسطوانة هي 376.8 سم 2.
المثال الثاني: احسب نصف قطر الأسطوانة التي تبلغ مساحتها الإجمالية 2136.56 مترًا مربعًا وارتفاعها 3 أمتار.
إذا استبدلنا البيانات في القانون المشار إليه سابقاً ، نجد ما يلي:
2136.56 = 2 × ص × ص × (ص + 3)
عوّض بقيمة pi عند 3.14.
نجد ما يلي:
2136.56 = 2 × 3.14 × ص × (ص + 3)
340.22 = 3 ف + 2 ف
0 = 340.22 – 3q + 2q
و لهذا:
ن = 17 م.
المثال الثالث: احسب المساحة الجانبية لأسطوانة قطر قاعدتها 56 مترًا وارتفاعها 20 مترًا.
إذا علمنا أن نصف القطر يساوي قسمة القطر على 2 ، واستبدال البيانات بالقانون المذكور سابقًا ، نجد ما يلي:
المساحة الجانبية = 2 × ل × 28 × 20
وعليه تبلغ المساحة الجانبية 3516.8 متر مربع.
اسطوانة مستخدمة
يتضمن البحث عن قوانين المساحة والحجم للأسطوانة التوقف عند استخداماتها المختلفة ، والتي يمكن تلخيصها في الوظائف التالية:[4]و [5]
- الهندسة الميكانيكية: تتكون معظم المحركات من أسطوانات تضخ الوقود أو الماء.
- ضغط الغاز: بما في ذلك ضغط الهواء ، ويسمى الاسطوانات الهوائية.
- صناعة الأجهزة والآلات: مثل المركبات وآلات البناء والهندسة الميكانيكية.
حساب حجم الاسطوانة
الجزء الثاني يتكون من قانون مساحة وحجم الاسطوانة ، قانون حساب الحجم الذي يسمى “حجم الاسطوانة” باللغة الإنجليزية ويعبر عن سعة الاسطوانة وكمية المادة التي تحتويها ، وهذا الحجم يمكن حسابها باستخدام مساحة قاعدتها مضروبة في ارتفاعها ويتم كتابتها في الصيغة الرياضية. كما يأتي: lx r² x p.[6]
أمثلة لحساب حجم الاسطوانة
بعد تقديم قانون الحساب وشرح مفهوم حجم الأسطوانة ، تتبع أمثلة تطبيقية لحساب حجم الأسطوانة:[6]
- المثال الأول: احسب حجم أسطوانة نصف قطرها 8 سم وارتفاعها 15 سم.
بتطبيق قانون الحساب نجد الآتي:
حجم الاسطوانة = lx 8 2 x 15
لذلك يبلغ حجم الأسطوانة: 3016 م 3.
- المثال الثاني: احسب نصف قطر أسطوانة بسعة 440 سم 3 وارتفاعها 35 سم ، مع العلم أن باي يساوي 22/7.[7]
باستبدال البيانات بقانون الحساب ، نحصل على ما يلي:
440 = lxr² x 35
إذا استبدلنا pi الثابت بقيمته ، نحصل على:
R² = (440 × 7) / (22 × 35) = 3080/770 = 4
إذن ، نصف القطر يساوي 2 سم.
يتطلب قانون مساحة وحجم الأسطوانة فهم المفهوم الهندسي والرياضي لمادة أسطوانية صلبة ، حيث يمكن اشتقاق قانون الحساب من المادة الصلبة ثلاثية الأبعاد وهذا القانون هو أحد أسس الرياضيات في التعليم المتوسط والثانوي .
المراجع
- ^ wikiwand.com ، اسطوانة ، 2020-12-17
- ^ byjus.com ، مساحة سطح الأسطوانة ، 2020-12-17
- ^ storyofmathematics.com ، مساحة سطح الأسطوانة – شرح وأمثلة ، 2020-12-17
- ^ britannica.com ، المكابس والأسطوانات ، 2020-12-17
- ^ wikiwand.com ، اسطوانة هيدروليكية ، 12/17/2020
- ^ varsitytutors.com ، حجم الأسطوانة ، 2020-12-17
- ^ byjus.com ، حجم الأسطوانة ، 2020-12-17