إن إيجاد حل للمعادلات التربيعية يعني إيجاد قيم “المتغيرات” المجهولة التي تجعل المساواة صحيحة. كما تعلم، هناك عدة طرق يمكنك استخدامها لحل المعادلات التربيعية. لكن ما سنناقشه بالتفصيل في هذا المقال هو طريقة حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع (الإكمال إلى مربع كامل).
المحتويات
المعادلات التربيعية وإكمال المربع
سبق أن قدمنا لكم مقالاً مفصلاً عن الطرق، وبالطبع تم تضمين هذه الطريقة في المقال. كما قدمنا طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام، لكن تابعونا الآن مع الخطوات والتدريبات العديدة لطريقة إكمال المربع بشكل خاص، مع الحل والشرح الوافي لجميع الحالات، وكيفية القيام بذلك احتياجات الصف التاسع. (الثالث المتوسط).
الصورة العامة للمعادلة التربيعية (الدرجة الثانية):
الفأس² + ب س + ج = 0
- إذا كانت a قيمة معروفة وx ليست صفرًا، فإن ≠ 0.
- b قيمة معلومة ومثل المجهول x.
- ج هو مصطلح ثابت معروف.
ومع ذلك، لحل المعادلات التربيعية بإكمال المربع، عليك كتابة المعادلة المعطاة في الصورة:
الفأس² + ب س = ج
ويتم الحصول على ذلك عن طريق إضافة أو طرح c من طرفي المعادلة حسب إشارة c في المعادلة المعطاة حتى نتخلص من الحد الثالث في الطرف الأيسر، أو بمعنى آخر يمكننا تحقيق هذا الشكل بإزاحة الحد c مباشرة إلى الجانب الآخر، لكن تأكد من تغيير إشارته إلى إشارة معاكسة. للأصل.
1- خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال مربع الصورة x² + bx + c = 0
كثيرًا ما يصلنا سؤال حول حل المعادلة بإكمال المربع x2 + 6x – 16 = 0، لذا سنتحقق الآن من حل هذه المعادلة بخطوات نظيفة وواضحة بحيث يكون a = 1، أي مثل “المعامل” ” x² أو x2 يساوي واحدًا:
- لحل معادلة تربيعية من الصورة x² + bx + c = 0 أولًا بإكمال المربع، نحتاج إلى تحويلها إلى الصورة x² + bx = c، كما ناقشنا للتو.
- ثم نحسب قيمة ²(b/2) حسب قيمة b المعطاة في المعادلة المطلوبة.
- ثم نضيف نتيجة هذا التعبير ²(b/2) إلى طرفي المعادلة لإكمال المربع.
- ثم نأخذ جذر الحد الأول، وإشارة الحد الثاني، وجذر الحد الثالث، ونضعهما بين قوسين ونربع القوس بأكمله.
- في هذه الخطوة نبرر طرفي المعادلة.
- ثم علينا حل المعادلات البسيطة واستخدامها لإيجاد قيم المجهولات. وبهذا نكون قد أكملنا خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع.
تمارين على حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع بالحل
مثال 1: حل المعادلة التالية بإكمال المربع:
س² + 6س – 16 = 0 •
الحل:
- في البداية، كما ذكرنا سابقًا، نحتاج إلى كتابة المعادلة على الصورة x² + bx = c.
س² + 6س = 16
حيث انتقلنا -16 إلى الطرف الثاني من المعادلة، وقمنا أيضاً بتغيير إشارتها إلى الإشارة المقابلة، أو يمكنك القيام بما يلي لتحقيق هذه الصورة كما وضحنا أعلاه:
س² + 6س – 16 + 16 = + 16 » س² + 6س = + 16
- ثم نحسب: 9 = ²(2 / 6) = ²(ب/2).
- والآن نضيف النتيجة 9 على طرفي المعادلة لإكمال المربع »»»
x² + 6x + 9 = + 16 + 9 » x² + 6x + 9 = 25
- ومن الممكن بعد ذلك كتابة الطرف الأيسر من المعادلة بالصيغة »»
25 = ²(3 + س)
- ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين:
س + 3 = 5 » س1 = 5 – 3 = 2
س + 3 = – 5 » س2 = – 5 – 3 = -8
وبالتالي فإن المجموعة الجذرية لـ “حلول” المعادلة هي:
ق { 2، -8 }
مثال 2: أوجد حل المعادلة التربيعية التالية:
س² – 5س + 2 = 0 •
الحل:
- نطرح 2 من طرفي المعادلة أو ننقل 2 إلى الجانب الآخر، مع تغيير الإشارة للحصول على:
س² – 5س = – 2
- 4 / 25 = ²( 2 / 5 – ) = ²( ب / 2 )
- (4 / 25) + x² – 5x + (4 / 25) = – 2
- 4 / 17 = ²( (5/2) – س )
- س – (5/2) = + √17/2 » x1 = + (5/2) + (√17/4)
- س – (5/2) = – √17/2 » x2 = + (5/2) – (√17/4)
وبالتالي فإن مجموعة حل “جذور” المعادلة هي:
ق { + (5/2) + (√17/4)، + (5/2) – (√17/4)}
2- خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال مربع الصورة ax² + bx + c = 0
ستتعلم هنا كيفية حل المعادلات التربيعية من خلال إكمال مربع الشكل ax² + bx + c = 0 بحيث يكون a ≠ 1. الخطوات لا تزيد عن الخطوات السابقة، باستثناء خطوة واحدة يجب عليك القيام بها قبل البدء مع الحل:
- نحتاج أولاً إلى قسمة طرفي المعادلة بأكملها على x²، أي القسمة على المعامل a، للحصول على معادلة على الصورة x² + bx + c = 0.
- ثم يجب كتابة المعادلة كالمعتاد بالصيغة التالية: x² + bx = c.
- ثم نحسب المبلغ ²(ب/2).
- بعد ذلك، نضيف نتيجة التعبير إلى طرفي المعادلة.
- الآن يمكننا إكمال الجانب الأيسر إلى مربع كامل (مربع كامل).
- ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين ونحل معادلتي الدرجة الأولى لنحصل ببساطة على قيم المجهولين وهي حلول للمعادلة.
تمارين على حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع بالحل
مثال 1: أوجد حل المعادلة التربيعية التالية بإكمال المربع:
4x² + 8x + 8 = 0 •
الحل:
- أولاً، نحتاج إلى قسمة طرفي المعادلة بالكامل على المعامل a، أي على كميات مثل المجهول x²، والذي يساوي في المعادلة المعطاة 4:
» س² + 2س + 2 = 0
- ثم تأتي الخطوة التي لا يمكننا تخطيها دون تطبيقها، وهي كتابة المعادلة بالصورة الصحيحة لطريقة إكمال المربعات:
» س² + 2س = – 2
1 = ²(2/2) = ²(ب/2)
- ثم نضيف 1 إلى طرفي المعادلة » x² + 2x + 1 = – 1 » x² + 2x + 1 = – 2 + 1
- والآن نكتبها على الصورة: 1 – = ²(1 + x)
ملحوظة: لا توجد أعداد حقيقية مربعاتها عدد سالب وبالتالي المعادلة غير قابلة للحل، أي ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية، لذلك نتوقف عن الحل.
مثال 2: استخدم إكمال المربع لحل المعادلة التربيعية التالية:
2س² + 12س – 4 = 0 •
الحل:
- نقسم طرفي المعادلة على a، حيث x² + 6x – 2 = 0 « a = 2
- ثم نكتبها على الصورة: x² + 6x = 2.
- ثم نحسب المبلغ: 9 = ²(6/2) = ²(ب/2)
- بعد ذلك، نضيف 9 إلى طرفي المعادلة:
x² + 6x + 9 = 2 + 9 » x² + 6x + 9 = 11
- س + 3)² = 11)
- إذا أخذنا جذر الطرفين، فسنحصل على x + 3 = ± √11
- وبالتالي فإن حلول المعادلة هي:
س + 3 = – √11 » x1 = – 3 – √11
س + 3 = + √11 » x2 = – 3 + √11
وبالتالي فإن المجموعة الجذرية لحلول المعادلة هي:
س { – 3 – √11, – 3 + √11 }
أهم الأسئلة المتداولة حول حل المعادلات التربيعية بإكمال المربعات
1- إحدى طرق حل المعادلات التربيعية هي إكمال المربع.
نعم، حل المعادلات من الدرجة الثانية (التربيعية) بإكمال المربع (الإكمال إلى المربع الكامل) هو أحد طرق حل المعادلات من الدرجة الثانية.
2- ما عدد الطرق لحل المعادلات التربيعية؟
هناك خمس طرق لحل المعادلات التربيعية، لكل منها غرض يناسب صيغتها العامة، والخامسة منها ليست دقيقة بما فيه الكفاية:
- حل المعادلات التربيعية باستخدام القانون العام.
- كيفية حل المعادلات التربيعية عن طريق التخصيم.
- حل المعادلة التربيعية بإكمال المربع.
- حل المعادلة التربيعية باستخدام الجذر التربيعي.
- طريقة حل المعادلات التربيعية بيانياً، أي باستخدام التمثيل البياني.
3- إلى خطوات إكمال مربع المعادلة التربيعية، هل نضيف معامل x على الطرفين؟
لا، إذا كانت المعادلة على الصورة x2 + bx + c = 0، فإننا أولاً نقسم طرفي المعادلة بأكملها على العامل x2، أي على a، ثم نكتبها على الصورة x2 + bx = c. بعد ذلك نكمل خطوات حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع بأخذ المقدار². أضف (ب/2) إلى طرفي المعادلة. ثم نكمل مربع الطرف الأيسر ثم الجذر، ثم نحل المعادلات الخطية الناتجة لنحصل على قيم المجهول x.
4- كيف يتم تبسيط المعادلات؟
يمكنك قسمة طرفي المعادلة على شيء مثل x² (المعامل a)، ويمكنك أيضًا إضافة أو طرح رقم على طرفي المعادلة بذكاء للحصول على معادلة مكافئة أبسط مما هي عليه.
5- متى يكون للمعادلة حل واحد؟
إذا استخدمت القانون التمييزي فيمكنك معرفته مباشرة بعد معرفة قيمة المميز “دلتا” من القانون Δ = b² – 4ac. إذا كانت Δ = 0، فإن المعادلة لها حل واحد (مضاعف).
كيفية حل المعادلات التربيعية (الدرجة الثانية) بإكمال المربع بالتفصيل مع التمارين المحلولة حتى تتقن الطريقة وتختبر نفسك. إذا كانت لديك أي أسئلة، اتركها لنا في مربع التعليقات أدناه حتى نتمكن من الإجابة عليها بسرعة.