المعادلة هي معادلة تحتوي على رقم مجهول، ونرمز لهذا الرقم المجهول بحرف أبجدي. للعثور على جميع قيم المجهولات التي تجعل المساواة صحيحة، يجب علينا حل المعادلة بمعرفة كل قيمة من المجهولات التي تحقق المعادلة. عندما يتعلق الأمر بحل معادلات الدرجة الثانية، هناك أكثر من طريقة تتيح لنا حل المعادلة بشكل صحيح. اتبع معنا الأساليب باستخدام القوانين والأمثلة الواضحة.
المحتويات
حل معادلة تربيعية بمجهول واحد
المعادلة من الدرجة الثانية هي المعادلة التي تكون فيها أعلى قوة من الدرجة الثانية هي “2”، أي أعلى قوة مربعة. تحتوي جميع معادلات الدرجة الثانية على متغير “غير معروف”، ودع
الصورة العامة للمعادلة التربيعية (المعادلة التربيعية)
الفأس² + ب س + ج = 0
- حيث القيم a، b، c هي قيم معروفة.
- معامل المتغير x².
- ب معامل “أوجه التشابه” للمتغير x.
- ج- حد ثابت.
- a ƒ 0 وذلك لأنه عندما a = 0 لا يكون الحد التربيعي الأول موجودا وهذا غير ممكن.
1- حل المعادلات من الدرجة الثانية (التربيعية) باستخدام طريقة التمييز “دلتا” Δ
تُعرف هذه الطريقة بأنها طريقة حل معادلات الدرجة الثانية باستخدام القانون العام الذي ينطبق على جميع معادلات الدرجة الثانية. كل قيمة تحقق المعادلة تسمى حل المعادلة أو جذر المعادلة:
في الخطوة الأولى نحسب قيمة الدلتا بتطبيق العلاقة:
Δ = ب² – 4أك
ثم نناقش ما يلي:
- إذا كانت Δ > 0 (قيمة دلتا أكبر من الصفر)، فهذا يعني أن المعادلة لها حلين مختلفين:
x1 = ( – b + √Δ ) / 2a الحل الأول
x2 = ( – b – √Δ ) / 2a الحل الثاني
- إذا كانت Δ = 0 (قيمة دلتا تساوي صفر)، فهذا يعني أن المعادلة لها حلان متطابقان، أي حل واحد (مزدوج)، وهو:
س = – ب / (2أ)
- إذا كانت Δ <0 (قيمة دلتا أقل من الصفر)، فهذا يعني أن المعادلة غير قابلة للحل، أي أنه ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية.
تدريبات عملية على حل المعادلات التربيعية باستخدام طريقة التمييز العام مع الحل
مثال 1: أوجد حل المعادلة التالية باستخدام “قانون التمييز” العام:
س² + 4س + 4 = 0 •
الحل:
أولاً نحسب قيمة Δ :
Δ = ب² – 4أ = (4)² – 4 × (1) × (4) = 0
نجد أن Δ = 0 » للمعادلة حلان متماثلان أي حل واحد “مزدوج” وهو:
س = – ب / ( 2أ ) = – 4 / ( 2 × 1 ) = -2
مثال 2: أوجد حل المعادلة التالية:
3x² + 2x + 4 = 0 •
الحل:
أولاً نحسب قيمة Δ :
Δ = ب² – 4أ = (2)² – 4 × (3) × (4) = – 44
نجد أن Δ < 0 » المعادلة مستحيلة الحل.
مثال 3: أوجد حل المعادلة التالية:
س² – 2س – 2 = 0 •
الحل:
أولاً نحسب قيمة Δ :
Δ = ب² – 4أ = (-2)² – 4 × (1) × (-2) = 12
نجد أن Δ > 0 » للمعادلة حلان مختلفان:
x1 = (- ب + √Δ ) / 2أ = (- (-2) + √12) / 2 × 1 = (2 + √12) /2
3√ + 1 =
x2 = (- ب – √Δ ) / 2أ = (- (-2) – √12) / 2 × 1 = (2 – √12) /2
3√ – 1 =
ولذلك فإن مجموعة حل “جذور” المعادلة هي: S [ 1 + √3 ، 1 – √3 ]
2- حل المعادلات من الدرجة الثانية (التربيعية) بالتحليل
يتطلب حل معادلة تربيعية بدون مميز طريقة مختلفة لإيجاد حلول للمعادلة، وبالتالي يكون لدينا حل لمعادلة تربيعية عن طريق التحليل. وتعتمد هذه الطريقة أيضًا على تحليل الطرف الأيسر من المعادلة ax² + bx + c = 0، أي أننا نقوم بتحليل هذا الجانب ax² + bx + c إلى عوامله. فاتبع معنا الخطوات عندما يكون a = 1 وهو ما يعرف بالتحليل المباشر.
- أولاً، حدد قيم a، b، c من المعادلة بعد كتابتها على الصورة ax² + bx + c = 0 إذا كتبت بشكل مختلف.
- ثم ابحث عن رقمين مجموعهما يساوي قيمة b وحاصل ضربهما يساوي c.
- ثم نكتبه في صورة حاصل ضرب القوسين يساوي صفرًا.
- ثم إما القوس الأول يساوي صفر، ومن هنا نحدد قيمة x1، وهو الحل الأول.
- أو القوس الثاني يساوي صفر ومنه نجد قيمة x2 وهو الحل الثاني.
تدريبات عملية على حل معادلات الدرجة الثانية بالتحليل مع الحلول
مثال 1: أوجد حل المعادلة التربيعية عن طريق التحليل:
س² – 3س – 10 = 0 •
الحل:
- في الخطوة الأولى نجد ما يلي:
أ = 1، ب = -3، ج = -10
- ثم نبحث عن رقمين مجموعهما 3 وحاصل ضربهما 10.
- وبعد التفكير والتجربة نجد أن الرقمين -5 و 2 يحققان الشرط السابق، لأن -10 = -5 × 2 و -3 = 2 + 5-
- التالي نكتب:
س + 2) (س – 5) = 0)
إما 0 = (س + 2) »» س = -2
أو 0 = (س – 5) »» س = 5
وبالتالي فإن مجموعة حل “جذور المعادلة” هي: S [ -2 ، 5 ]
مثال 2: إذا كان 1
2س² + 5س – 12 = 0 •
الحل:
أ = 2، ب = +5، ج = -12
2س – 3) (س + 4) = 0)
إما 0 = (2س – 3) »» س = 3/2 « 2س = 3
أو 0 = ( س + 4 ) »» س = -4
ولذلك فإن مجموعة حل “جذور” المعادلة هي: S [ -4 ، 3/2 ]
3- حل معادلة تربيعية (تربيعية) بإكمال المربع (كاملة إلى مربع كامل).
لحل معادلة تربيعية بإكمال المربع، علينا أولًا كتابة المعادلة على الصورة ax² + bx = c. إذا كانت مكتوبة بالشكل ax² + bx + c = 0، فإننا نحولها كما في السابق بنقل c إلى الجانب الثاني، مع تغيير إشارتها وفقًا للمعلومات الواردة في التمرين. بعد فهم هذه الخطوات، يمكنك حل معادلة تربيعية بمجرد إكمال المربع:
- أولاً نكتب المعادلة بالشكل ax² + bx = c.
- ثم نوجد قيمة ²(b/2).
- ثم نضيف نتيجة الخطوة الثانية إلى طرفي المعادلة.
- بعد ذلك نكتب الجانب الأيسر كمربع كامل.
- ثم نأخذ الجذر التربيعي للطرفين.
- ثم نحل المعادلات الخطية الناتجة لنحصل على قيم x.
تدريبات عملية على حل المعادلات التربيعية بإكمال المربع (كاملاً إلى المربع الكامل) بالحل
مثال 1: أوجد حل المعادلة التالية:
س² + 4س + 1 = 0 •
الحل:
- في الخطوة الأولى نكتب المعادلة بالشكل التالي: ax² + bx = c، مع الحرص على تغيير إشارة الرقم المرسل إلى الطرف الآخر.
س² + 4س = -1
- ثم نحسب: 4 = ²( 2 / 4 ) = ²( ب / 2 )
- ثم نضيف النتيجة “4” إلى طرفي المعادلة كما يلي:
x² + 4x + 4 = -1 +4 » x² + 4x + 4 = 3
- الآن نكتب الجانب الأيسر كمربع كامل: x + 2)² = 3) ثم نقوم بجذر الطرفين:
س = -2 + √3 «« x + 2 = √3
س = -2 – √3 «« x + 2 = -√3
ولذلك فإن مجموعة حل “جذور” المعادلة هي: S [-2 + √3 ، -2 – √3]
مثال 2: أوجد حل المعادلة التالية:
س² + 8س + 1 = 0 •
الحل:
س² + 8س = -1
16 = ²(2 / 8) = ²(ب / 2)
16 + x² + 8x + 16 = -1
س² + 8س + 16 = 15
15 = ²(س + 4)
س = -4 + √15 «« x + 4 = √15
س = -4 – √15 «« x + 4 = -√15
ولذلك فإن مجموعة حل “جذور” المعادلة هي: S [-4 + √15 ، -4 – √15]
4- حل معادلة تربيعية بدون تمييز (بالجذر التربيعي)
لا يمكنك استخدام طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام الجذر التربيعي إلا إذا كان الحد الثاني bx من الصيغة العامة ax² + bx + c = 0 غير موجود، أي أن المعادلة لها الشكل:
الفأس² + ج = 0
- في الخطوة الأولى، ننقل جميع المعلمات إلى الجانب الآخر، بحيث نجعل x² معزولًا على جانب واحد.
- ثم نقوم بتجذير كلا الجانبين.
- ثم أوجد حلول المعادلة.
تدريبات عملية على حل المعادلات التربيعية باستخدام الجذور التربيعية مع الحل
مثال 1: أوجد حل المعادلة التالية:
س² + 1 = 26 •
الحل:
- أولاً ننقل +1 إلى الجانب الآخر، مع تغيير العلامة:
x² = 25 «« x² = 26 – 1
- ثم نقوم بتجذير كلا الطرفين: x = +5، x = -5
ولذلك فإن مجموعة حل “جذور” المعادلة هي: S [ +5 ، -5 ]
مثال 2: أوجد حل المعادلة التالية:
س² + 4 = 20 •
الحل:
س² = 20 – 4 » س² = 16
وجذر الطرفين:
س = +4، س = -4
ولذلك فإن مجموعة حل “جذور” المعادلة هي: S [ +4 ، -4 ]
أهم الأسئلة المتداولة حول حل المعادلات التربيعية
1- كيف أعرف إذا كانت المعادلة من الدرجة الأولى أو الثانية؟
نحن نعتبر أكبر الأس للمجهول. إذا كان أكبر أس من الدرجة الأولى في المعادلة هو 1، أي في الصورة x، فهي معادلة من الدرجة الأولى ذات مجهول واحد. لكن إذا كانت أكبر قوة من الدرجة الثانية في المعادلة هي 2، أي على الصورة x²، فإننا نقول إنها معادلة من الدرجة الثانية ذات مجهول واحد.
2- متى لا يكون للمعادلة حل؟
إذا قمت بحل المعادلة باستخدام طريقة تمييز الدلتا وحصلنا على Δ < 0، أي قيمة دلتا سالبة، فنقول إن المعادلة مستحيلة الحل (ليس لها حلول في مجموعة الأعداد الحقيقية).
3- ما هو قانون التمييز في الرياضيات؟
في الرياضيات، “دلتا” المميزة لها قانون نصه: Δ = b² – 4ac
وهذه هي طرق حل المعادلات التربيعية ذات المجهول الواحد والتي أرفقناها لكم بالتفصيل مع أمثلة للحل. إذا كان لديك أي أسئلة، يرجى تركها لنا في مربع التعليقات أدناه حتى نتمكن من الإجابة عليها بسرعة.