المسافة هي مفهوم علمي يستخدم لقياس المسافة بين نقطتين في الفضاء. يتم قياس المسافة بوحدات معينة مثل الأمتار والكيلومترات والقدمين والأميال وغيرها من الوحدات. يعتمد قياس المسافة على الغرض من القياس. يمكن استخدام العداد لقياس المسافة بين نقطتين قريبتين من بعضهما البعض، بينما يمكن استخدام الكيلومتر لقياس المسافة بين مدن أو دول مختلفة. وسنتناول هنا قانون البيع عن بعد وأمثلة عليه.
المحتويات
قانون المسافة والسرعة والزمن
قانون المسافة بين موقعين أو نقطتين في موقع ما، من حيث مفهومي السرعة (v) والزمن
المسافة (د) = السرعة (ت) × الزمن (ر)
بينما:
د: هي المسافة المقاسة بين نقطتين مفحوصتين، وتقاس بالمتر الواحد (م) في المعيار الدولي.
v: السرعة التي يتحرك بها الجسم، وتقاس بالمعيار الدولي بواحد متر/ثانية أو (¹−ms).
t: هو الزمن اللازم لقطع هذه المسافة، ويقاس الزمن بالمجموعة الدولية بثانية واحدة (ث).
لذلك يمكن استنتاج قوانين الزمن والسرعة من خلال المسافة d:
- السرعة (v) = المسافة (d) / الزمن
- الزمن
وهذا القانون هو القانون الذي يتم بموجبه حساب الكمية الفيزيائية.
أمثلة عملية على قانون المسافة
مثال (1): لنفترض أن الطفل يركض بسرعة (5)¹−ms ويستغرق (16) ثانية. احسب المسافة التي يقطعها الطفل؟
الحل:
قانون المسافة هو كما يلي:
د = ت × ر
نعوض ببيانات السرعة والزمن ونجد:
د = 5 × 16 = 80 م
وبالتالي فإن المسافة المقطوعة هي 80 مترًا.
مثال (2): يقود سائق مركبة بسرعة 27 كم/ساعة لمدة 10 دقائق. من الضروري حساب المسافة بالأمتار.
الحل: أولا يجب تحويل السرعة إلى الوحدة الدولية م/ث. ولتحويلها نقوم بتحويل الكيلومترات إلى أمتار والساعات إلى ثواني، كما يلي:
(ت = 27 × (1000/3600
وهي: v = 7.5 م/ث
ثانياً: نقوم بتحويل الوقت من دقيقة واحدة إلى ثواني كما يلي:
ر = 10 × 60 = 600 ثانية
وعليه فإن التعويض في قانون حساب المسافة هو كما يلي:
د = الخامس × ر = 7.5 × 600 = 4500 م
المسافة الناتجة 4500 متر حسب السرعة السابقة.
قانون المسافة في الرياضيات
وفقًا لقوانين الرياضيات، يخبرنا قانون الإحداثيات الديكارتية بكيفية حساب المسافة بين نقطتين ذات إحداثيات معروفة رياضيًا. يتم تحديد المسافة باستخدام الإحداثيات على النحو التالي:
د = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
بينما:
x2: تمثل الفاصلة الفترة الثانية التي تم فحصها.
x1: الفاصلة تشير إلى الفترة الأولى التي تم فحصها.
y2: يعبر عن ترتيب النقطة الثانية التي تم فحصها.
y1: يعبر عن ترتيب النقطة الأولى التي تم فحصها.
د: هي كمية جبرية تعبر عن المسافة بين نقطتين معروف فواصلهما وترتيبهما.
⇐ هناك خطوات معينة يمكن استخدامها لتحديد المسافة عند فحص نقطتين على المستوى الإحداثي:
- نحدد النقطتين A وB على المستوى من خلال تحديد المسافات والأوامر لكل نقطة على حدة.
- نحن نربط النقطتين A و B بخط مستقيم.
- بعد ذلك نرسم خطوطا من النقطتين حتى يصبح الشكل مثلثا قائما عند النقطة الثالثة سواء كانت C.
- الآن يمثل المسافة بين النقطتين [AB] المسافة D هي طول الوتر في المثلث القائم ABC ويتم حسابها وفقًا لقانون فيثاغورس. وتنص على ما يلي:
²(طول الوتر في المثلث القائم) = ²(طول الضلع الأيمن الأول) + ²(طول الضلع الأيمن الثاني)
طول الوتر في المثلث القائم = ²(طول الضلع الأيمن الأول) + ²(طول الضلع الأيمن الثاني)√
ولمزيد من توضيح القانون سنقدم عددا من الأمثلة العملية عليه.
أمثلة عملية على قانون المسافة في الرياضيات
مثال: لدينا نقطتان ثابتتان A وB، إحداثياتهما على التوالي: A(8,6)، B(10,15). من الضروري إيجاد المسافة بناءً على القانون الديكارتي.
الحل: يطبق قانون المسافة السابق لحساب المسافة D بين النقطتين A و B حسب العلاقة التالية:
د = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
نعوض بالإحداثيات الخاصة في النقطتين في الصيغة:
د = √ (10-8)² + (15-6)²
⇐ د = √ (2)² + (9)²
⇐ د = √ 4 + 81
⇐ د = √85
⇐ د = 9.22
حالة خاصة من قانون المسافة (1): حالة نقطة مجهولة
في بعض الأحيان تكون المسافة بين نقطتين معروفة ويطلب منا حساب أحد إحداثيات النقاط المستخدمة لحساب المسافة. هنا مثال لهذه الحالة:
مثال: أوجد العلامة العشرية للنقطة أ ذات الرتبة 10، مع العلم أن إحداثيات النقطة ب هي (4،4). المسافة بين النقطتين هي 10.
الحل: لحل هذه المشكلة يتم استخدام القانون الديكارتي السابق لحساب العلامة العشرية للنقطة A:
د = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
⇐ نقوم بالتعويض على النحو التالي:
10 = ²(س – 4) + ²(10 – 4) √
⇐ 10 = 6² + ²(س – 4) √
نقوم بتربيع الطرفين ونجد:
⇐ 10² = 6² + ²(س – 4)
⇐ 100 = 36 + ²(س – 4)
⇐ 36 – 100 = ²(س – 4)
⇐ ²(س – 4) = 64
نقوم بتجذير طرفي المعادلة ونجد:
⇐ س – 4 = 8
⇐ س = 4
حالة خاصة من قانون المسافة (2): حالة نقطة ذات إحداثيات سالبة
إحدى الحالات الخاصة لتحديد المسافة بناءً على قانون الإحداثيات الديكارتية بين نقطتين هي عندما يكون لإحدى النقطتين إحداثيات سالبة، أي أن فاصلها وترتيبها قيمتان سالبتان. ولتوضيح كيفية التعامل مع هذه الحالة إليك مثال تفصيلي:
مثال: لنحصل على إحداثيات النقطتين A وB كما يلي: (-6)، A (6,3)، B (-10). ما نحتاجه هو حساب المسافة بين نقطتين بناءً على قانون القيمة الديكارتية الخاص بهما.
الحل: نستبدل مباشرة بصيغة المسافة التالية:
د = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
د = √ (-10 -6)² + (-6 -3)²
⇐ د = √ (-16)² + (-9)²
⇐ د = √ 256 + 81
⇐ د = √ 337
⇐ د = 18.5
قانون المسافة بين نقطتين في الفضاء
عند فحص نقطتين في الفضاء، هناك قانون إضافي لحساب المسافة، حيث أن النقاط في هذه الحالة تكون ثلاثية الإحداثيات، أي أن كل نقطة تتميز بكونها تحتوي على (x، y، z). يمكن تحديد المسافة إلى النقاط باستخدام ثلاث إحداثيات على النحو التالي:
د = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)² + (z2 – z1)²
مثال: لحساب المسافة بين نقطتين بالإحداثيات التالية: B(8,6,6)، A(3,5,9). نستبدل القانون السابق بالنص التالي:
د = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)² + (z2 – z1)²
⇐ د = √ (8 – 3)² + (6 – 5)² + (6 – 9)²
⇐ د = √ (5)² + (1)² + (-3)²
⇐ د = √25+ 1+ 9
⇐ د = √35
⇐ د = 5.9.
كيف أحسب المسافة بين النقطة والخط؟
لحساب المسافة بين نقطة ذات إحداثيات معينة (x1، y1) وخط في النموذج:
د = | أ.x1 + ب.y1 + ج | / √أ² + ب²
أولا، يجب إعطاء معادلة الخط: y = mx + b
حيث يمثل m ميل الخط الموصوف بالمعادلة. في هذه الحالة، علينا تحويل المعادلة إلى معادلة طول ضلعها الثاني صفر. يعني المعادلة هي:
0= م س − ص + ب
وبهذه الطريقة تكون المعادلة مشابهة للشكل المفروض لمعادلة الخط الذي يجب استبداله لإيجاد المسافة بحيث تتوافق القيم المفروضة في المعادلة السابقة مع الرموز الموجودة في المعادلة للخط، على النحو التالي:
أ = م، ب = −1 و ج = ب
وباختصار، فإن معادلة المسافة بين النقطة والخط هي كما يلي:
د = | م.x1 – y1 + ب| / √ م² + 1
كيف أحسب المسافة بين خطين؟
ولحل معادلات الخطين يجب حساب المسافة بينهما بنفس الطريقة السابقة. والشكل الأساسي للقانون المستخدم لحساب المسافة في هذه الحالة هو:
د = | ج2 – ج1 | / √أ² + ب²
وبافتراض معادلة الخطين، يتم تحويلها إلى الصورة التالية، بحيث تكون معادلة الخط الأول هي: A1.x + B1.y + C1 = 0
معادلة السطر الثاني: A2.x + B2.y + C2 = 0
وذلك بوضع معادلات الخطين على الصورة: y = m1.x + b1 للسطر الأول
و y = m2.x + b2 للسطر الثاني ينتج عنه المسافة:
د = | ب2 – ب1 | / √ م² + 1
وتجدر الإشارة إلى أنه عند الحل يجب أن يكون الخطان متوازيين لتكون المعادلة صحيحة.
ما الفرق بين المسافة والإزاحة؟
هناك فرق كبير بين المفهوم العام للمسافة والإزاحة. في ميكانيكا الحركة، توصف الإزاحة بأنها الحركة المقاسة لجسم في اتجاه معين، وتمثل أقصر خط مستقيم يصل بين نقطتين معروفتين. بشكل عام، الإزاحة هي كمية مرتبطة بالقيمة والاتجاه. يمكن أن تكون إيجابية أو سلبية أو صفر.
المسافة هي كمية فيزيائية ترتبط بقيمة عددية فقط، دون أن ترتبط باتجاه محدد. ولذلك يمكن القول أن المسافة هي كمية تمثل الحركة الكلية للجسم أو المسار المقاس بين نقطتين معلومتين وأنها كمية موجبة.
الأسئلة المتداولة حول قانون المسافة
1. كيف أحسب المسافة بين نقطتين؟
لحساب المسافة العددية بين نقطتين معلومتي الإحداثيات، استخدم القانون التالي:
د = √ (x2 – x1)² + (y2 – y1)²
بينما:
x1, y1: هي إحداثيات النقطة الأولى.
x2, y2: هي إحداثيات النقطة الثانية.
D: المسافة الناتجة وتمثل طول المسار بين النقطتين.
باستخدام الآلة الحاسبة، نأخذ أولاً علامة الجذر التربيعي، ثم ندخل الأرقام الموجودة بين القوسين، ونقوم بتربيعها، وأخيرًا نجد النتيجة النهائية.
2. ما هي المسافة في النظام الدولي؟
وحدة المسافة في النظام الدولي للقياسات هي المتر، ويمكن حسابها أيضًا بوحدات شائعة أخرى مثل القدم أو السنتيمتر أو الكيلومتر أو الأميال.
3. هل السنة الضوئية زمن أم مسافة؟
السنة الضوئية هي كمية عددية تقاس في الفراغ البصري المثالي وهي: 9.461 × 10¹² كيلومتر. وتقدر المسافة التي يقطعها شعاع الضوء في الفضاء على مدار عام كامل.
4. كيفية حساب المسافة على أساس السرعة والوقت؟
يمكن حساب المسافة بسهولة بناءً على السرعة والوقت. لحل المشكلة، نتأكد أولاً من أن جميع الوحدات متناسبة، على سبيل المثال. على سبيل المثال، واحد للسرعة بالأمتار/الثانية والآخر للوقت بالثواني إذا كانت المسافة مطلوبة بالأمتار. وإذا كان المطلوب كيلومترًا واحدًا، فيجب أن تكون السرعة بواحد كيلومتر/ساعة والوقت بالساعات. ومن ثم نطبق القانون التالي: d = v × t.
5. هل يمكن أن تكون المسافة سلبية؟
المسافة هي كمية موجبة حصريًا لأنها تمثل طول المسار المقطوع بين نقطتين معلومتين.